Como vimos, no geral, a derivada temporal da energia cinética da partícula não deve ser zero. Temos que
\[\label{pot}\frac{dK}{dt}=\mathbf{F} \cdot \dot{\mathbf{x}},\]o que vale em cada ponto da trajetória. Como a velocidade é tanjente a
\(C_1\) em cada ponto, o produto escalar à direita de (
\ref{pot}) é o módulo da projeção ortogonal da força que age sobre a partícula, sobre sua velocidade. Este observável escalar é conhecido como
Potência.
A equação (\ref{pot}) pode ser escrita como\[\label{dK}dK=\mathbf{F}\cdot \frac{d \mathbf{x}}{dt}dt=\mathbf{F}\cdot d \mathbf{x},\]o que fornece a diferença infinitesimal da energia cinética relacionada à potência dissipada em uma uma porção infinitesimal de tempo (primeira igualdade), ou simplesmente à projeção da força sobre um elemento infinitesimal de distância sobre a curva (segunda igualdade). Esta equação nos fornece o quanto a partícula troca energia com o ambiente enquanto passa o tempo, sobre sua curva horária, fornecendo uma boa forma de definição de trabalho.
Agora, do ponto \(A\) ao ponto \(B\) sobre \(C_1\), podemos integrar (\ref{dK}):\[W_{C_1}\equiv \int_{C_1}dK=\int_{\mathbf{x}_A}^{\mathbf{x}_B}\mathbf{F}\cdot d \mathbf{x}=\int_{t_A}^{t_B}\mathbf{F}\cdot \mathbf{v}dt.\]Esta integral é definida como o trabalho da força \(\mathbf{F}\) sobre a partícula entre os pontos \(A\) e \(B\) sobre a curva \(C_1\). Note que a integral em \(d\mathbf{x}\) é uma integral de linha.
Note que, em razão da expressão (
\ref{pot}), o trabalho sobre a curva
\(C_1\) é dado por
\[W_{C_1}=\int_{t_A}^{t_B}\mathbf{F}\cdot \mathbf{v}dt=\int_{t_A}^{t_B}dK=K\left(t_B\right) -K\left(t_A\right).\]Portanto, o trabalho sobre uma curva é igual à variação total da energia cinética sobre a curva,
\(W=\Delta K\). Este resultado é conhecido como
Teorema Trabalho - Energia Cinética.
Como toda integral de linha, o trabalho depende da curva seguida pela partícula. Isto deve ser evidente através da forma \(\int_{C_1}\mathbf{F}\cdot d \mathbf{x}\), mas também pode ser visto na integral \(\int_{t_A}^{t_B}\mathbf{F}\cdot \mathbf{v}dt\), na qual a curva deve estar codificada no campo vetorial \(\mathbf{v}\). Assim, na primeira figura \ref{544051}, o trabalho sobre a partícula para percorrer \(C_1\) deve ser distinto do trabalho para percorrer \(C_2\). Embora a partícula esteja submetida ao mesmo campo de forças \(F(t,\mathbf{x},\mathbf{v}, \cdots)\), a força em cada ponto da primeira curva será diferente da força em cada ponto da segunda curva, e o mesmo ocorrerá com o campo de velocidades. É natural não esperar que o resultado seja o mesmo.
Forças conservativas
Contudo, existem forças especiais, denominadas
conservativas, cujo trabalho não depende da curva tomada pela partícula. A existência de forças conservativas é de fundamental importância para a validade da lei de conservação da energia, como veremos. A primeira consequência do fato de uma força ser conservativa é que, no exemplo da primeira figura
\ref{544051}, o trabalho realizado sobre a partícula na curva
\(C_1\) é igual ao trabalho sobre a curva
\(C_2\), ou seja,
\[\int_{C_1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{x}=\int_{C_2}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{x},\ \ \ \mathrm{ou}\ \ \ \int_{C_1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{x}-\int_{C_2}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{x}=0.\]Em ambas as curvas, a partícula caminha do ponto
\(A\) ao ponto
\(B\). Porém, o que ocorre se, como na figura
\ref{544051} à direita, a partícula volta pelo sentido oposto da curva
\(C_2\) após chegar ao ponto
\(B\) pela curva
\(C_1\)? Neste caso, a partícula percorrerá um circuito fechado
\(C\) composto por
\(C_1\) e por
\(-C_2\), em que o sinal de menos significa a inversão da orientação da curva. Na integral de linha, a mudança de orientação de uma curva implica na mudança de sinal da integral, ou seja,
\[\int_{-C_2}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{x}=-\int_{C_2}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{x},\]que resulta, caso a força seja conservativa, em
\[\int_{C_1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{x}+\int_{-C_2}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{x}\equiv \oint_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{x}=0,\]em que
\(\oint\) simboliza integração em uma curva fechada. O resultado vale para qualquer curva fechada, as curva
\(C_1\),
\(C_2\) e
\(C\) nada possuem de especial, portanto, o trabalho de uma força conservativa sobre uma curva fechada é sempre nulo.
Na figura \ref{253208}, temos uma outra curva fechada \(\gamma\) genérica. Toda curva fechada é uma fronteira para uma infinidade de superfícies abertas, como por exemplo, a superfície \(\Sigma\).