Sistemas referenciais
Vamos relembrar os dois primeiros postulados:
Postulado 1: A posição de uma partícula consiste em um elemento (ou ponto) do espaço euclidiano tridimensional \(\mathbb{R}^3\).
Postulado 2: A distância entre duas partículas de posições \(x\equiv\left(x_1,x_2,x_3\right)\) \(y\equiv\left(y_1,y_2,y_3\right)\) é dada pela métrica euclidiana\[\label{metrica}D\left(x,y\right)=\sqrt{\left(y_1-x_1\right)^2+\left(y_2-x_2\right)^2+\left(y_3-x_3\right)^2}.\]
Estes dois postulados estabelecem o mapeamento da estrutura física da mecânica clássica na estrutura matemática do espaço cartesiano com a métrica euclidiana. Os espaços euclidianos, em si, possuem estruturas complexas que, ao menos em parte, devemos apreciar. E a escolha da métrica euclidiana, como já dissemos, é uma escolha empírica; parece ser uma propriedade dos sistemas mecânicos que as distâncias sejam calculadas pelo teorema de Pitágoras.
Duas são as características de \(\mathbb{R}^3\) que são fundamentais para a mecânica clássica:
- A geometria euclidiana é homogênea e isotrópica;
- O espaço \(\mathbb{R}^3\) é, em si, um espaço vetorial.
Nesta aula, vamos abordar essas características.
Sistemas de coordenadas
Em espaços métricos, como no caso do espaço euclidiano, podemos definir sistemas de coordenadas. O exemplo mais simples no caso de
\(\mathbb{R}^3\) é o
sistema de coordenadas cartesiano (fig.
\ref{146774}), que consiste em uma origem e três eixos cartesianos reais. Cada eixo cartesiano representa uma reta real e cada ponto é representado por uma trinca ordenada de números reais
\(\left(x,y,z\right)\). Por vezes também utilizaremos a notação
\(\left(x_1,x_2,x_3\right)\). As coordenadas da origem são, naturalmente,
\(\left(0,0,0\right)\) .