Transformações de coordenadas

Os sistemas de coordenadas deveriam ser irrelevantes para uma teoria física. Contudo, o desenvolvimento da mecânica newtoniana não se deu independentemente de sua utilização. Fundamentalmente, uma teoria física fundamental deveria
  1. Ser independente do sistema de coordenadas escolhido.
  2. Ser independente do observador.
O primeiro requisito é puramente formal. Um sistema de coordenadas é apenas uma representação ordenada das posições de partículas e corpos no espaço. O espaço em si não sofre nenhuma modificação quando um sistema de coordenadas é transformado em outro, como no caso dos sistemas cartesiano e esférico-polar. Qualquer que seja a posição de uma partícula, ela não se modifica quando as coordenadas são mudadas. A física, portanto, deve ser invariante por transformações gerais de coordenadas.
Já o segundo requisito tem uma natureza epistemológica de fundamental relevância. Uma teoria física independente do observador possui a propriedade da covariância geral, que significa a invariância por sistemas referenciais. Nossa ideia principal não é construir uma teoria com covariância geral. Se este fosse o desejo dos fundadores da mecânica, a teoria de Newton provavelmente não teria sido formulada, e a Relatividade Geral, por outro lado, teria tido um início bastante precoce. A mecânica clássica newtoniana, como mostraremos, é uma teoria invariante por um subconjunto de transformações referenciais.
Primeiro, vamos discutir como um sistema de coordenadas pode ser transformado em outro. Vamos partir do sistema de coordenadas cartesiano, no qual as coordenadas \((x_1, x_2, x_3)\) representam as coordenadas naturais de três retas reais perpendiculares (fig. \ref{146774}). As equações (\ref{02}), (\ref{03}) e (\ref{04}) representam as expressões que relacionam coordenadas cartesianas e esférico-polares: