A métrica euclidiana em \(\mathbb{R}^3\)
Mais uma vez, uma métrica que possibilite calcular a distância entre dois pontos de \(\mathbb{R}^3\) é necessária. E mais uma vez esta métrica deve ser coerente com o teorema de Pitágoras. Assim, podemos introduzir o segundo postulado:
Postulado 2: A distância entre duas partículas, cujas posições são representadas respectivamente pelos pontos \(x\equiv\left(x_1,x_2,x_3\right)\) e \(y\equiv\left(y_1,y_2,y_3\right)\), é dada pela hipotenusa do triângulo retângulo no qual um dos catetos é representado pela distância \(\left|y_3-x_3\right|\) no eixo \(e_3\), e o outro cateto é representado pela hipotenusa do triângulo retângulo formato pelos catetos de distância \(\left|y_1-x_1\right|\), no eixo \(e_1\), e pelo cateto de distância \(\left|y_2-x_2\right|\) no eixo \(e_2\). Neste caso,\[\label{metrica}D\left(x,y\right)=\sqrt{\left(y_1-x_1\right)^2+\left(y_2-x_2\right)^2+\left(y_3-x_3\right)^2}.\]
A métrica definida em (\ref{metrica}) é um tipo de função denominado função de dois pontos. Como o espaço tem três dimensões, a métrica é uma função de seis variáveis, \[D(x,y)=D(x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3).\]Esta função obedece às propriedades de uma boa métrica:
- Simetria: \(D(x,y)=D(y,x)\);
- Positividade: \(D(x,y)\geq 0\);
- Não degenerescência: \(D(x,y)=0\) se, e somente se, \(x=y\).