Podemos, também, definir uma forma de se medir a distância entre dois pontos de \(\mathbb{R}^2\). Se nos reportarmos à função que faz o mesmo trabalho em \(\mathbb{R}\), a função módulo, poderíamos ser tentados a utilizar a seguinte função:\[\begin{equation}\label{metricamodulo}D\left(x,y\right)\equiv\left|x_1-y_1\right|+\left|x_2-y_2\right|,\end{equation}\] em que \[x,y\in \mathbb{R}^2 \ : \ x\equiv \left(x_1,x_2\right), \ \ \ y\equiv\left(y_1,y_2\right).\]A função (\ref{metricamodulo}) define uma boa métrica: ela é simétrica \(D\left(x,y\right)=D\left(y,x\right)\), é sempre positiva e é nula se, e somente se, \(x=y\). Contudo, esta não é uma métrica aceitável fisicamente.
Para compreender por que não podemos utilizar a métrica (\ref{metricamodulo}) para calcular a distância entre dois pontos, devemos apelar à observação e à experiência. Na antiga Grécia, a observação da geometria plana da natureza levou ao principal resultado da geometria euclidiana: o Teorema de Pitágoras:
O Teorema de Pitágoras: Sejam \(b\) e \(c\) dois catetos de um triângulo retângulo. Neste caso, a hipotenusa \(a\) é calculada por\[a=\sqrt{b^2+c^2}.\]
Assim como no caso unidimensional, o espaço \(\mathbb{R}^2\) também possui uma representação gráfica, através do plano cartesiano da fig. \ref{154560}.